目录
- 前言
- 1.穷举法
- 2.欧几里得算法（辗转相除法）
- 3.递归方法
- 附：相减法
- 总结
前言
两个正整数的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD）是能够整除这两个整数的最大整数。两个正整数的最大公约数的求法有多种解答，本文就三种方法做详细介绍：穷举法、欧几里得算法（辗转相除法）、递归方法。
我们从一道问题来引入：编写计算最大公约数的函数Gcd()，在主函数中调用该函数计算并输出从键盘任意输入的最大公约数。
1.穷举法
根据最大公约数的定义，我们可以采用一种最简单的方法——穷举法来编写代码。由于a和b的最大公约数不可能比a和b中的较小者还大，否则一定不能整除它，因此，先找到a和b中的较小者t，然后从t开始逐次减1尝试每种可能，即检验t到1之间的所有整数，第一个满足公约数条件的t，就是a和b的最大公约数。据此我们可编写函数Gcd()如下：
//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
int i, t;
if (a <=0 || b <= 0)
return -1;
t = a < b ? a : b;
for (i=t; i>0; i--)
{
if (a%i==0 && b%i==0)
return i;
}
return 1;
}
这种方法简单暴力，思维量小，但效率较低，且当两个正整数都较大，且最大公约数为1时，循环的次数为较小数的值，可想而知所需时间会很长。
2.欧几里得算法（辗转相除法）
下面介绍一种求最大公约数较常用的办法：欧几里得算法（辗转相除法）。
忽略数学原理，我们有如下算法：对正整数a和b，连续进行求余运算，直到余数为0为止，此时非0的除数就是最大公约数。设 r=a mod b 表示a除以b的余数，若 r≠0 ，则将b作为新的a，r作为新的b，重复 a mod b 运算，直到 r=0 为止，此时b为所求的最大公约数。例如，50和15的最大公约数的求解过程可表示为：Gcd(50, 15)=Gcd(15, 5)=Gcd(5, 0)=5。
用这种算法可编写函数Gcd()如下：
//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
int r;
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
do{
r = a % b;
a = b;
b = r;
} while (r != 0);
return a;
}
我们也可以考虑使用递归实现如下：
//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
if (a % b == 0)
return b;
else
return Gcd(b, a % b);
}
3.递归方法
对于最大公约数，还有3条性质：
性质1 如果 a>b，则a和b与a-b和b的最大公约数相同；
性质2 如果 b>a，则a和b与a和b-a的最大公约数相同；
性质3 如果 a=b，则a和b的最大公约数与a值和b值相同。
对正整数a和b，当 a>b 时，若a中含有与b相同的公约数，则a中去掉b后剩余的部分a-b中也应含有与b相同的公约数，对a-b和b计算公约数就相当于对a和b计算公约数。反复使用最大公约数的3条性质，直到a和b相等为止，这时，a或b就是它们的最大公约数。
这就是所谓的第三种方法：递归方法。虽然此法被称为递归方法，但只是思想方法运用了递归的方法，并不代表只能使用递归实现。我们同样可以通过非递归和递归两种手段编写函数Gcd()。非递归实现如下：
//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
while (a != b)
{
if (a > b)
a = a - b;
else if (b > a)
b = b - a;
}
return a;
}
编写递归函数如下：
//函数功能：计算a和b的最大公约数，输入负数时返回-1
int Gcd(int a, int b)
{
if (a <= 0 || b <= 0)
return -1;
if (a == b)
return a;
else if (a > b)
return Gcd(a-b, b);
else
return Gcd(a, b-a);
}
以上就是三种计算最大公约数的算法，可使用如下主函数来调用函数Gcd()，计算最大公约数：
#include <stdio.h>
int Gcd(int a, int b);
int main(void)
{
int a, b, c;
printf("Input a,b:");
scanf("%d,%d", &a, &b);
c = Gcd(a,b);
if (c != -1)
printf("Greatest Common Divisor of %d and %d is %d\n", a, b, c);
else
printf("Input number should be positive!\n");
return 0;
}
求两个正整数的最大公约数的过程，实质上是使用最大公约数的定义及性质求解的过程，对此感兴趣的伙伴们可以自己研究相关数学原理与证明。
附：相减法
这种方法比较易于理解，原理是先判断两个正整数大小，并将较大数与较小数的差值赋给较大数，循环此步骤直到两数相等，此时得出最大公约数。
代码如下：
#include<stdio.h>
int main()
{
int m,n;
printf("请输入两个正整数:");
scanf("%d %d",&m,&n);
printf("%d%和%d的最大公约数是",m,n);
while(m!=n)
{
if(m>n)
{
m=m-n;
}else
{
n=n-m;
}
}
printf("%d",n);
return 0;
}
参考文献：
苏小红 王甜甜 赵玲玲 范江波 车万翔 等编著 王宇颖 主审，C语言程序设计学习指导（第4版），高等教育出版社，P57-60.
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